1. Euler-lagrange equation

Euler-lagrange equation은 곡선을 극치화(extremize)하는 것에 효율적으로 사용할 수 있다.(그리고 일반상대성이론에서도 geodesics equation을 유도하기 위해 사용한다.) 다음의 논리를 따라가자. 먼저, 라그랑지언 $\mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)$^[각주:1]에 대해 극치화하자. 먼저 라그랑지언, $\mathcal{L}\equiv T-V$로 정의된다. 그러나 이에 얽메이지 않고 어떤 범함수에 대해서 생각할 수 있다.(사실 이게 변분법의 역할이다.)

우리는 이제 어떤 계의 시간에 대한 작용

$$S=\int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)dt$$

로 고려된다는 것을 알고 있다. 그러면 이제 작용에 변분을 취하자

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \delta \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)dt$$

이고 total derivative의 관점에서

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\delta q_i+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\biggr)dt$$

이다. 그리고 $\delta \dot{q}_i=\frac{d}{dt}\delta q_i$와 $\delta q_i(t_1)=\delta q_i (t_2)=0$과 integration by parts를 이용하면

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)\biggr]\delta q_i dt$$

이고 principle of least action에 의하여

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)\biggr]\delta q_i dt=0$$

이다. 이 말은 즉슨 양 끝점에서 변분이 0이 되기만 하면 무한한 homotopic한 path가 존재하여 그 중 선택을 하는 것이다. 그런데 이 많은 path들 중에서 principle of least action을 만족하려면

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)=0$$

이다.

1. q와 q 도트는 각각 generalized coordinate와 generalized velocity이며 당연히 q에 대한 시간 미분이 q 도트이다. [본문으로]