2. Tensor

General relativity와 현존하는 단순한 classical field theory와의 근본적인 차이는 tensor에서 부터 있다. tensor은 coordinate transformation에 대하여 불변인 양으로 간단하게 요약할 수 있다. 먼저 tensor는 다음과 같은 multi-linear form으로 생각한다.

$$\mathrm{(p,q)-tensor}\equiv \bigotimes^p V^* \bigotimes^q V\rightarrow \mathbb{R}$$^[각주:1]

단순히 생각해서 적당한 p개의 covector들과 q개의 vector들을 모아서 한번에 real field로 보내는 mapping이다. 즉 단순한 하나의 form이 아니라 multi-linear form이다. 이러한 방면으로 보면 tensor는 쉽게 이해가 되지 않는다. 그러나 covector과 vector의 차이점을 우리는 잘 알아둘 필요가 있다.

1. vector space와 dual vector space

우리는 $T_p M$을 manifold M^[각주:2]의 point p의 tangent vector space로 표기한다. 그러면 이에 대한 dual space가 존재하여 cotangent space를 $T^*_p M$으로 표기한다. 이에 대해서 우리가 평범하게 알던 것은 contravariant vector이며 이 양은 scale과 관련이 있다. 그러나 covector는 좌표계 변환에 대해서 그대로 변환하여 양을 유지시키게 해주는 모습을 보여준다. 이는 다시 설명해서 covariance를 가지고 있다는 뜻이며 좌표계에 대해 같은 양을 유지한다는 것이다. 즉 이러한 양을 가지고 covariance를 유지시키게 하는 form이 tensor이다.

위의 그림을 보면 확실하게 생각할 수 있다. ($e_1, e_2,e_3$는 tangent basis vector이고, $e^1, e^2, e^3$는 dual basis vector이다.)

이러한 방면에서 우리는 $\omega : T_p M \rightarrow \mathbb{R}$이게 하는 $\omega \in T^*_p M$을 cotnagent vector이라고 하며 one-form이라고 한다.

2. basis

위에 나와있는 그림에는 basis vector가 각각 $e_i, e^j$로 나와있지만 사실은 그렇지 않다.(그렇지 않다기 보다는 의미를 파악하기가 어려울 수 있다.) 일단 우리는 tangent space의 basis $\{e_\mu\}=\{\frac{\partial}{\partial x^\mu}\}$이고 cotangent space의 basis는 $\{e^\mu\}=\{dx^\mu\}$임을 기억하자. 이에 대한 논리는 설명하면 복잡한데 단순하게 inner product $\mathrm{<\;,\;>}\rightarrow T^*_p M \times T_p M$이기 때문이고 실제로

$$<dx^\mu,\frac{\partial}{\partial x^\mu}>=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}=\delta^\nu _\mu$$^[각주:3]

이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors

1. *은 dual을 뜻한다. [본문으로]
2. 이 시리즈에서는 설명하지 않을 것이다. [본문으로]
3. 델타는 크로넥커 델타. 첨자가 같으면 1을 반환하고 다르면 0을 반환한다. [본문으로]