für Physik, Shut up and calculate

1. Weak proof

Einstein field equation은 내가 아는 바로는 두 가지의 유도 방법이 있다. 원래 사용되는 것은 einstein-hilbert action을 통한 proof이고 다른 방법은 hartle에서 사용하는 끼워 맞추기이다. 우리는 단순히 이 사실들만 이용한다.

$$\nabla^a G_{ab}=0$$

$$\nabla^a T_{ab}=0$$

따라서

$$G_{ab}=\kappa T_{ab}$$

라 할 수 있고 weak field limit (newtonain limit)을 이용해 다음과 같은 관계식을 얻는다.

그러나 이 방법은 올바르지 않다. 저렇게 되는 것이 저 tensor들로만 구성되지 않을 수도 있기 때문이다. 더욱이 einstein이 처음에는 양변에 covariant derivative를 취하면 금방 해결되는 것을 당시 einstein이 bianchi identity를 몰라서 위와 같은 방법을 취하면 등호가 성립하지 않는 것을 모르고 잘못된 방정식을 내놓았었다.

2. Einstein hilbert action

total action은 gravity에 대한 action+matter에 대한 action이 되어야 할 것이다. 그리고 이에 대해 principle of least action을 취하면 어떤 equation을 얻을 수 있고 우리는 그 equation을 einstein field equation임은 쉽게 알 수 있다.

먼저, gravity에 대한 action은 covariance가 있어야 한다. 또한 lagranian density는 scalar이고 covariance를 지녀야 하므로 gravity에 대한 lagrangian density $\mathcal{L}_g$는 다음과 같이 생각할 수 있다.

$$\mathcal{L}_g=a_0+a_1 R+a_2 R^2+ \cdots + b_1 R_{ab} R^{ab}+b_2 R_{ab}R^{ab}R+\cdots +c_1 R_{abcd} {R}^{abcd}$$

그리고 실험에 의해 이 action의 leading term은 scalar curvature임이 증명이 되었다. 그리고 $a_0=-2\Lambda$라 하면 total action은 다음과 같다. ($c=G=1$을 사용하자.)

$$S=\int d^4 x\sqrt{-g}(R-2\Lambda+16\pi \mathcal{L}_m)$$

이제 아래의 action에 대한 변분을 풀기 위한 테크닉을 유도하자.

먼저 matrix identity를 이용하자.

$$\ln(\mathrm{det }g_{\mu \nu})=\mathrm{tr }(\ln g_{\mu \nu})$$

임을 이용하면 다음의 Jacobi formula는 쉽게 증명할 수 있다.

$$\frac{\partial}{\partial \mathbf{A}}\mathrm{det }(\mathbf{A})=\mathrm{det }\mathbf{A}[\mathbf{A}^{-1}]^T$$

그리고 total derivative는 action에 기여를 하지 못한다는 사실을 사용하자.^[각주:1]

따라서

$$\delta S=\int d^4 x \biggr(\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(R\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu \nu}}+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(-2\Lambda \sqrt{-g})}{\delta g^{\mu \nu}}+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(16\pi\mathcal{L}_m\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu \nu}}\biggr)\sqrt{-g} \,\delta g^{\mu \nu}$$

$$\delta S=\int d^4 x  \biggr(\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu}}+\frac{R}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}}-2\frac{\Lambda}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}}-8\pi T_{\mu \nu}\biggr)\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu \nu}$$

$$\delta S=\int d^4 x  \biggr(R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R+\Lambda g_{\mu \nu}-8\pi T_{\mu \nu}\biggr)\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu \nu}=0$$

$$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R+\Lambda g_{\mu \nu}-8\pi T_{\mu \nu}=0$$

1. Ricci tensor, scalar curvature

Riemann curvature tensor의 indices를 줄이기 위해서 다음의 텐서를 생각하자.

$$\mathrm{Ric}(X,Y)\equiv <dx^\mu, R(e_\mu, Y)X>$$

그러면 components로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$R_{\mu \nu}=\mathrm{Ric}(e_\mu, e_\nu)=R^\lambda {}_{\mu \lambda \nu}$$

그리고 scalar curvature $R$은 다음과 같이 정의한다,

$$R\equiv g^{\mu \nu}R_{\mu \nu}$$

또한, Einstein tensor를 다음과 같이 정의하자.

$$G_{\mu \nu}\equiv R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu }R$$

그리고 energy-momentum tensor는 다음과 같이 정의된다

$$T_{\mu \nu}\equiv-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}\mathcal{L}_m)}{\delta g^{\mu \nu}}$$

2. Bianchi Identity

(i) First Biachi identity

$$R(X,Y)Z+R(Z,X)Y+R(Y,Z)X=0$$

$$R^a {}_{bcd}+R^{a}{}_{cdb}+R^{a}{}_{dbc}=0$$

(ii) Second Bianchi Identity^[각주:1]

$$(\nabla_X)(Y,Z)V+(\nabla_Z R)(X,Y)V+(\nabla _Y R)(Z,X)V=0$$

$$(\nabla_e R)^f {}_{cab}+(\nabla_a R)^{f}{}_{bce}+(\nabla_a R)^{f}{}_{cea}=0$$

그리고 indices contarction을 통하여

$$\nabla ^{\mu} G_{\mu \nu}=0$$

은 bianchi identity에 의하여 자명하다.

3. Energy momentum conservation

물질에 대한 action은 다음과 같다.

$$S=\int d^4 x \sqrt{-g} \mathcal{L}_m$$

여기서 물질에 대한 action은 coordinate transformation에 대하여 invariant해야 함은 자명하다. 따라서,

$$x'^a=x^a+\epsilon A^a$$

이고 $\epsilon$은 작다고 가정한다. 이 transformation에 대하여 pullback을 고려하고 first order approximation을 생각하자. 그리고 편의를 위해서 coordinate transfomation이 된 metric을 $g'_{ab}$라 표기하자. 그러면

$$g'_{ab} (x)=g_{ab} (x)-\epsilon (A^c \partial_c g'_{ab}+g'_{bd}\partial_a A^d+g'_{ad}\partial_b A^b)$$

connection coefficient의 정의를 이용하면

$\delta g_{ab}=-\epsilon (\nabla_a A_b+\nabla_b A_a)$

이고 energy momentum tensor가 symmetric하다는 사실을 이용하면

$$\delta S=2\epsilon \int d^4 x (\nabla_a (A_b T^{ab})-A_b(\nabla_a T^{ab}))=0$$

first term은 surface term으로 0이다. 따라서

$$\nabla _a T^{ab}=0$$

이다.

1. Riemann curvature tensor

기존의 Christoffel symobls는 tensor가 아니기 때문에^[각주:1] 다른 기하학적 양이 필요하다. 이제 $R:\mathscr{X}(M)\otimes \mathscr{X}(M)\otimes \mathscr{X}(M)\rightarrow \mathscr{X}(M)$인 Riemann curvature tensor가 다음의 조건을 만족한다고 정의하자.

$$R(X,Y,Z)=R(X,Y)Z\equiv \nabla_X \nabla_Y Z-\nabla_Y \nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z$$^[각주:2]

그러면 자명하게 다음의 성질은 성립한다.

$$R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$$

또한 다음의 과정을 따라가보자.

$$R(fX,gY)hZ=fghR(X,Y)Z$$

임을 알 수 있고^[각주:3] 따라서

$$R(X,Y)Z=X^\mu Y^\nu Z^\lambda R(e_\mu, e_\nu)e_\lambda$$

따라서 위의 mapping대로 3 개의 vector field를 vector field로 하는 사상이며 이는 (1,3)-tensor라는 것을 알 수 있다. 그리고 이 riemann curvature tensor는 tensor이기 때문에 다음의 논리가 성립한다.

$$R^{a}{}_{bcd}=<dx^a,R(e_c,e_d)e_a>=\partial_c \Gamma^{a}{}_{db}-\partial_\nu \Gamma^{a}{}_{cb}+\Gamma^{e}{}_{db}\Gamma^{a}{}_{ce}-\Gamma^{e}{}_{cb}\Gamma^{a}{}_{de}$$

그리고 $R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$이므로

$$R^{a}{}_{bcd}=-R^{a}{}_{bdc}$$

이다.

여기서 $pqrs$의 coordinate를 $\{x^\mu\}\{x^\mu+\epsilon^\mu\}\{x^\mu+\delta^\mu\}\{x^\mu+\epsilon^\mu+\delta^\mu\}$로 생각하자. 각각 $p,q,r,s$의 coordinate이며 위의 그림을 보면 알 수 있듯이 Path 1과 Path 2를 따라서 transport한 vector의 결과는 다르다. 그래서 이 다른 정도를 이용해서 Riemann curvature tensor을 생각하자. 먼저 Path 1로 이동한 vector는 $V_1^\mu (p)$로 Path 2로 이동한 vector는 $V_2 ^\mu (p)$ 그리고 $p$에 있는 transport하기 전의 vector $V^\mu _0$로 표시하자. 이제 $V_1 ^\mu (q)$는 다음과 같이 표현이 될 것이다.^[각주:4]

$$V^\mu _1 (q)=V^\mu _0-V^\kappa_0 \Gamma^\mu {}_{\nu \kappa}(p)\epsilon^\nu$$

그러므로 $V^\mu _1 (r)$은

$$V^\mu _1 (r)=V^\mu _1 (q)-V^{\kappa}_1 (q)\Gamma^{\mu}{}_{\nu \kappa}(q)\delta^\nu$$

$$\simeq V^\mu _0-V^\kappa _0 \Gamma^\mu _{\nu \kappa}\epsilon^\nu -V^\kappa_0 \Gamma^\mu {}_{\nu \kappa}\delta^\nu-V^\kappa_0[\partial_\lambda \Gamma^\mu {}_{\nu \kappa}-\Gamma^\rho {}_{\lambda \kappa}\Gamma^\mu {}_{\nu \rho}]\epsilon^\lambda \delta^\nu$$

같은 방법으로 $V^\mu _2 (r)$은

$$V^\mu _2 (r)\simeq V^\mu _0 -V^\kappa _0 \Gamma ^\mu {}_{\nu \kappa}\delta^\nu-V^\kappa_0\Gamma^\mu {}_{\nu \kappa}\epsilon^\nu -V^\kappa_0[\partial_\nu \Gamma^\mu {}_{\lambda \kappa}-\Gamma ^\rho{}_{\nu \kappa}\Gamma^{\mu}{}_{\lambda \rho}]\epsilon^\lambda \delta^\nu $$

이다. 이 두 vector의 차는

$$V^\mu _1(r)-V^\mu _2 (r)=V^\kappa_0 R^{\mu}{}_{\kappa \lambda \nu}\epsilon^\lambda \delta^\nu $$

1. Connection coefficient

$$\nabla_\nu e_\mu\equiv \nabla_{e_\nu}e_\mu=e_\lambda \Gamma^\lambda {}_{\nu \mu}$$

이다. 비슷한 방법으로

$$\nabla_\mu dx^\nu=-\Gamma^\nu _{\mu \lambda} dx^\lambda$$

이다. 위의 사실을 이용해서

$$\nabla_V W=V^\mu \nabla_\mu (W^\nu e_\nu)=V^\mu (\partial_\mu W^\lambda+W^\nu \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu})e_{\lambda}$$

은 쉽게 보일 수 있다. 위의 두 basis를 가지고 우리는 모든 tensor에 대한 covariant derivative를 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\nabla_\mu T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}=\partial_\mu T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}+\Gamma^{\nu_p}{}_{\nu \kappa} T^{\nu_1 \cdots \nu_{p-1}\kappa}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}+\cdots-\Gamma^\kappa {}_{\mu \lambda_1}T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\kappa\lambda_1 \cdots \lambda_{q-1}}-\cdots$$

2. Geodesic

$X$를 $\gamma(t)$에 대해 정의된 vector field 라 하고 $c:(a,b)\rightarrow M$인 manifold M 에서의 curve라 하자. 그러면 이는

$$X_{|c(t)}=X^\mu ((\gamma (t))e_\mu {}_{|\gamma (t)}$$

이고 $V=(dx^\mu \gamma (t)/dt)e_\mu {}_{\gamma(t)})$인 curve $\gamma(t)$의 tangent vector일 때 만약

$$\nabla_V X=0$$

이면 $X$를 curve $\gamma (t)$로 parallel transport 되었다고 한다. 그리고 이는 component를 사용하여 쓰면

$$\frac{dX^\mu}{dt}+\Gamma^\mu {}_{\nu \lambda}\frac{dx^\nu}{dt}X^\lambda=0$$

이게 된다. 이제 tangent vector $V$가 curve $\gamma (t)$에 대해 움직인다고 생각하면

$$\nabla_V V=0$$

이고 이를 만족하는 curve $\gamma (t)$를 geodesic이라고 한다. 이를 만족하는 $\gamma (t)$의 coordinate $\{x^\mu\}$에 대하여 위와 같은 방법으로 다음의 geodesic equation이 유도된다.

$$\frac{d^2 x^\mu}{dt^2}+\Gamma^\mu {}_{\nu \lambda}\frac{dx^\nu}{dt}\frac{dx^\lambda}{dt}=0$$

이제 이를 다른 방법으로 유도해보자. 우리는 어떠한 거리에 대하여 이를 extremize하는 방법을 이미 알고 있다. 즉,

$$I(\gamma)=\int_\gamma ds=\int_\gamma \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}}ds$$

이다. 그러면 lagrangian $\mathcal{L}=\sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}}$이고 $ds$에 대해서 보면 이를 만족하는 euler-lagrange equation을 통해서 우리는 다음의 결론을 얻어낼 수 있다.^[각주:1]

$$\frac{d^2 x^\mu}{ds^2}+\frac{1}{2}g^{\kappa \lambda}\biggr(\partial_\nu g_{\lambda \mu}+\partial_\mu g_{\lambda \nu}-\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}\biggr)\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}=0$$

따라서 위의 식과 비교하면

$$\Gamma^{\kappa} {}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\kappa \lambda}\biggr(\partial_\nu g_{\lambda \mu}+\partial_\mu g_{\lambda \nu}-\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}\biggr)$$

이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

1. Christoffel symbol

물리학에서는 아주 중요한 개념이 있는데 바로 등가원리의 관점에서 보거나 어느 관점에서 보거나 다른 좌표계에 대하여 법칙이나 다른 것들은 전부 불변(covariance, invariance)해야 한다. 이를 물리학적 용어로는 general covariance라고 한다. 그러나 vector field의 partial derivative 은 그렇지 않는다. 다음의 예시를 보라.

$$\partial'_\beta V'^\alpha = \frac{\partial}{\partial x'^\beta} \biggr(\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^i} V^i \biggr)$$

$$= \frac{\partial x^k}{\partial x'^\beta} \frac{\partial}{\partial x^k} \biggr(\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^i} V^i \biggr) $$

$$=\frac{\partial x^k}{\partial x'^\beta}\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^i} \partial_k V^i + \frac{\partial x^k}{\partial x'^\beta} \frac{\partial^2 x'^\alpha}{\partial x^k \partial x^i} V^i$$

즉, 식의 첫번째 항은 공변성을 보이지만 두번째 항 때문에 vector field의 변화를 partial derivative로 관찰하는 것은 covariance을 가지지 못해서 의미가 없다. 즉, 물리학 법칙에 사용되기에는 좋은 연산자가 아니라는 것이다. 이제 이를 위해서 수학자들은 parallel transport이라는 걸로 covariance을 가진 gradient를 정의하게 된다. 바로 covariant derivative이다.

이제 기하학적으로 다가가자. 기존의 partial derivative는 다음과 같이 정의된다.

$$\partial_\nu V^\mu = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{V^\mu (\cdots ,x^\nu+ \Delta x^\nu,\cdots) -V^\mu (\cdots ,x^\nu,\cdots )}{\Delta x^\nu}$$

여기서 옳지 않은 것은 기존 한 점에서는 tangent space라 비교를 자유자재로 할 수 있는데 다른 두 점이 있고 최소한 polar coordinate 위에서라 생각하면 두 tangent space 사이의 변화를 보여주어야 한다. 즉, 기존의 partial derivative으로 비교를 한다는 것은 지평면에 서있는 필자와 개미가 Mt. 에베레스트 정상에 있을 때 지평면에서 부터 비교한다는 것과 같은 이치이다. 실제로, 이러한 문제점을 고려할 필요가 없는 cartesian coordinate 위에서는 이 connection coefficients가 사라지게 된다. (이제, $\widetilde{V}_{|x+\Delta x}$를 $x+\Delta$로 paralled transport한 vector $V_{|x}$라 하자.)

이제 우리가 원하는 것을 살펴보자. 우리는 covariance가 있는 derivative을 원한다. covriance을 가지려면 어딘가 connection에 따라서 무언가를 보정해주는 값이 있어야 할 것이다. 즉, 우리가 원하는 것은

$$\widetilde{V}^\mu(x+\Delta x)-V^\mu (x)\propto \Delta x$$

$$\widetilde{(V^\mu+W^\mu)}(x+\Delta x)=\widetilde{V}^\mu (x+\Delta x)+\widetilde{W}^\mu (x+\Delta x)$$

그리고 이러한 우리의 수요를 만족시킬 수 있는 값을 이렇게 잡으면 되는 것이다.

$$\widetilde{V}^\mu(x+\Delta x)=V^\mu (x)-V^\lambda (x) \Gamma ^\mu {}_{\nu \lambda}(x) \Delta x^\nu$$

이렇게 해줌으로써 값을 보정시키거나 이 connection을 취함으로써, 기존의 partial derivative의 문제점을 사라지게 한다. 즉, vector $V$ 의 covriant derivative는 다음과 같이 정의된다.

$$\lim _{\Delta x^\nu \rightarrow 0} \frac{V^\mu (x+\Delta x)-\widetilde{V}^\mu (x+\Delta x)}{\Delta x^\nu}\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\biggr(\partial_\nu V^\mu + V^\lambda \Gamma ^\mu {}_{\nu \lambda}\biggr)\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

이걸 거꾸로 유도해도 좋다. 어떠한 값을 보정하는 것의 존재 하에서, 짜 맞추기 하는 것이다. 여기서, $\Gamma ^\mu {}_{\nu \lambda}$를 connection coefficients라 하며 이러하게 vector가 변환함을 표현해주는 것 자체가 Levi civita connetion이다. 여기서 levi civita connection의 특징은 affine connection에서 isomtery 하고, 꼬임 없는(torsion-free; $\Gamma ^\mu {}_{\nu \lambda}=\Gamma ^\mu {}_{\lambda \nu}$)접속이다. 그러나 torsion이 있다면 그건 torsion tensor를 고려하여 새로운 einstein field equation이 탄생하고 이 이론을 einstein-cartan theory라고 한다. 그러나 아직은 다루지 않겠다. 또한, 우주가 isotropic하고 균질한homogeneous한 공간이라는 이론인, cosmological principle에 의하여 이런 부분은 잘 다루지 않는다.

2. Affine connection

manifold M 위에서의 vector들의 set을 $\mathscr{X}(M)$이라 하자. 그러면 Affine connection은 $\mathscr{X}(M)\times \mathscr{X}(M)\rightarrow \mathscr{X}(M)$인 mapping 임을 알 수 있다. 그리고 affine connection은 다음의 properties를 만족하는 connection으로 정의한다.

$$\nabla _X (Y+Z)= \nabla _X Y+\nabla_X Z$$

$$\nabla _X (fY)=X[f]Y+f \nabla _X Y$$

$$\nabla _{(fX)}Y = f \nabla_X Y$$

$$\nabla _{(X+Y)} Z =\nabla _X Z+\nabla _Y Z$$

여기서, 위의 조건들을 이용하여,

$$\nabla _\mu W^\lambda \equiv \partial_\mu W^\lambda + \Gamma^\lambda{}_{\mu \nu} W^\nu$$

임은 basis에 대한 derivative로 쉽게 확인할 수 있다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

* 위의 문제들은 누구나 풀 수 있어야 한다.

1. Metric

M이 differentiable manifold이고 두 vector $U,V$가 주어졌고 $p \in M$일 때, M의 (0,2)-tensor g는 다음의 두 조건을 만족하면 pseudo-Riemannian metric이라 한다.

(i) $g_p (U,V)=g_p (V,U)$

(ii)$g_p (U,V)=0\mathrm{\, for\,any\,U\in T_p M,\, then V=0}$

이제 위의 definiton을 통해 $g_p : T_p M \otimes T_p M \rightarrow \mathbb{R}$이고 이를 통해서 우리는 다음을 정의할 수 있다.

$$g_p (U,\;):T_p M \rightarrow \mathbb{R}$$

이고 $\omega \in T^*_p M$는 $<\omega,U>=g(V_\omega,U) \mathrm{\,for\, V_\omega \in T_p M}$으로 쓸 수 있으므로 metric을 통해서 tangent space와 cotangent space 사이에 관계들(isomorphism)을 만들어 줄 수 있다. 먼저 (0,2)-tensor이므로

$$g_p=g_{\mu \nu}(p)dx^\mu \otimes dx^\nu$$

이고 따라서,

$$g_{\mu \nu}(p)=g_p(\frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu})=g_{\nu \mu}(p)$$

는 metric에 의하여 자명하다.

2. Property

그리고 위와 같은 방법으로 유도되어지는 다음의 property는 기억해두자.

$$g_{\mu \nu}g^{\nu \lambda}=g^{\lambda \nu}g_{\nu \lambda}=\delta^\lambda _\mu$$

이제 위의 관계(isomorphism)을 이용하여 index를 내리고 올릴 수 있다.

$A_i g^{ij}=A^j$

와 같이 말이다.

3. Metric tensor

이제 1.을 사용하여 다음과 같은 논리를 전개시키자. infinitesimal displacement $dx^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}\in T_p M$에서 다음과 같이 $ds^2$을 쓰자

$$ds^2=g(dx^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu},dx^\nu \frac{\partial}{\partial x^\nu})=dx^\mu dx^\nu g(\frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu})=g_{{\mu}{\nu}}dx^\mu dx^\nu$$

4. Pullback

이제는 coordinate transformation에 대해 다루겠다. 먼저 N과 Riemanian manifold N의 submanifold M^[각주:1]을 생각하자.

$f:M\rightarrow N$이 M의 submanifold structure에 대한 embedding이라고 생각을 한다면^[각주:2] 우리는 $f^*$(pullback)을 다음과 같이 쓸 수 있다. $g_M=f^* g_N$으로 생각하자. 그러면 component를 사용해서

$$g_{M_{\mu \nu}}=g_{N_{ij}}(f(x))\frac{\partial f^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial f^j}{\partial x^\nu}$$

이런 것을 우리는 coordinate transformation이라 하며 $f$ 대신에 $x'$도 많이 쓰며 $f^\mu$는 $f(x)$의 coordinate이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

[2] Wald, GENERAL RELATIVITY, 1984

General relativity와 현존하는 단순한 classical field theory와의 근본적인 차이는 tensor에서 부터 있다. tensor은 coordinate transformation에 대하여 불변인 양으로 간단하게 요약할 수 있다. 먼저 tensor는 다음과 같은 multi-linear form으로 생각한다.

$$\mathrm{(p,q)-tensor}\equiv \bigotimes^p V^* \bigotimes^q V\rightarrow \mathbb{R}$$^[각주:1]

단순히 생각해서 적당한 p개의 covector들과 q개의 vector들을 모아서 한번에 real field로 보내는 mapping이다. 즉 단순한 하나의 form이 아니라 multi-linear form이다. 이러한 방면으로 보면 tensor는 쉽게 이해가 되지 않는다. 그러나 covector과 vector의 차이점을 우리는 잘 알아둘 필요가 있다.

1. vector space와 dual vector space

우리는 $T_p M$을 manifold M^[각주:2]의 point p의 tangent vector space로 표기한다. 그러면 이에 대한 dual space가 존재하여 cotangent space를 $T^*_p M$으로 표기한다. 이에 대해서 우리가 평범하게 알던 것은 contravariant vector이며 이 양은 scale과 관련이 있다. 그러나 covector는 좌표계 변환에 대해서 그대로 변환하여 양을 유지시키게 해주는 모습을 보여준다. 이는 다시 설명해서 covariance를 가지고 있다는 뜻이며 좌표계에 대해 같은 양을 유지한다는 것이다. 즉 이러한 양을 가지고 covariance를 유지시키게 하는 form이 tensor이다.

위의 그림을 보면 확실하게 생각할 수 있다. ($e_1, e_2,e_3$는 tangent basis vector이고, $e^1, e^2, e^3$는 dual basis vector이다.)

이러한 방면에서 우리는 $\omega : T_p M \rightarrow \mathbb{R}$이게 하는 $\omega \in T^*_p M$을 cotnagent vector이라고 하며 one-form이라고 한다.

2. basis

위에 나와있는 그림에는 basis vector가 각각 $e_i, e^j$로 나와있지만 사실은 그렇지 않다.(그렇지 않다기 보다는 의미를 파악하기가 어려울 수 있다.) 일단 우리는 tangent space의 basis $\{e_\mu\}=\{\frac{\partial}{\partial x^\mu}\}$이고 cotangent space의 basis는 $\{e^\mu\}=\{dx^\mu\}$임을 기억하자. 이에 대한 논리는 설명하면 복잡한데 단순하게 inner product $\mathrm{<\;,\;>}\rightarrow T^*_p M \times T_p M$이기 때문이고 실제로

$$<dx^\mu,\frac{\partial}{\partial x^\mu}>=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}=\delta^\nu _\mu$$^[각주:3]

이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors

Euler-lagrange equation은 곡선을 극치화(extremize)하는 것에 효율적으로 사용할 수 있다.(그리고 일반상대성이론에서도 geodesics equation을 유도하기 위해 사용한다.) 다음의 논리를 따라가자. 먼저, 라그랑지언 $\mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)$^[각주:1]에 대해 극치화하자. 먼저 라그랑지언, $\mathcal{L}\equiv T-V$로 정의된다. 그러나 이에 얽메이지 않고 어떤 범함수에 대해서 생각할 수 있다.(사실 이게 변분법의 역할이다.)

우리는 이제 어떤 계의 시간에 대한 작용

$$S=\int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)dt$$

로 고려된다는 것을 알고 있다. 그러면 이제 작용에 변분을 취하자

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \delta \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)dt$$

이고 total derivative의 관점에서

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\delta q_i+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\biggr)dt$$

이다. 그리고 $\delta \dot{q}_i=\frac{d}{dt}\delta q_i$와 $\delta q_i(t_1)=\delta q_i (t_2)=0$과 integration by parts를 이용하면

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)\biggr]\delta q_i dt$$

이고 principle of least action에 의하여

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)\biggr]\delta q_i dt=0$$

이다. 이 말은 즉슨 양 끝점에서 변분이 0이 되기만 하면 무한한 homotopic한 path가 존재하여 그 중 선택을 하는 것이다. 그런데 이 많은 path들 중에서 principle of least action을 만족하려면

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)=0$$

이다.

1. Einstein summation convention

$$A^\mu B_\mu=\sum_{\mu} A^\mu B_\mu$$

저렇게 대응되는 첨자들, 즉 합에 참여하는 첨자들을 dummy variable이라 하며 반대로 summation에 참여하지 않는 index는 free variable이라 한다, 그리고 이 때 $\sum$을 생략한다.

2. East coast convention

$\eta_{\mu \nu}=\mathrm{diag }(-1,1,1,1\cdots)$

을 East coast convention 이라고 한다. 그리고 Jacobian(Volume element) $J^2=\mathrm{det } g_{\mu \nu}=-g \rightarrow J=\sqrt{-g}$. 왜냐하면 $(-,+,+,+\cdots+)$이면 determinant는 음수이기 때문이다.

이 글에서는 Einstein summation convention과 East coast convention을 사용했다.