3. Metric

1. Metric

M이 differentiable manifold이고 두 vector $U,V$가 주어졌고 $p \in M$일 때, M의 (0,2)-tensor g는 다음의 두 조건을 만족하면 pseudo-Riemannian metric이라 한다.

(i) $g_p (U,V)=g_p (V,U)$

(ii)$g_p (U,V)=0\mathrm{\, for\,any\,U\in T_p M,\, then V=0}$

이제 위의 definiton을 통해 $g_p : T_p M \otimes T_p M \rightarrow \mathbb{R}$이고 이를 통해서 우리는 다음을 정의할 수 있다.

$$g_p (U,\;):T_p M \rightarrow \mathbb{R}$$

이고 $\omega \in T^*_p M$는 $<\omega,U>=g(V_\omega,U) \mathrm{\,for\, V_\omega \in T_p M}$으로 쓸 수 있으므로 metric을 통해서 tangent space와 cotangent space 사이에 관계들(isomorphism)을 만들어 줄 수 있다. 먼저 (0,2)-tensor이므로

$$g_p=g_{\mu \nu}(p)dx^\mu \otimes dx^\nu$$

이고 따라서,

$$g_{\mu \nu}(p)=g_p(\frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu})=g_{\nu \mu}(p)$$

는 metric에 의하여 자명하다.

2. Property

그리고 위와 같은 방법으로 유도되어지는 다음의 property는 기억해두자.

$$g_{\mu \nu}g^{\nu \lambda}=g^{\lambda \nu}g_{\nu \lambda}=\delta^\lambda _\mu$$

이제 위의 관계(isomorphism)을 이용하여 index를 내리고 올릴 수 있다.

$A_i g^{ij}=A^j$

와 같이 말이다.

3. Metric tensor

이제 1.을 사용하여 다음과 같은 논리를 전개시키자. infinitesimal displacement $dx^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}\in T_p M$에서 다음과 같이 $ds^2$을 쓰자

$$ds^2=g(dx^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu},dx^\nu \frac{\partial}{\partial x^\nu})=dx^\mu dx^\nu g(\frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu})=g_{{\mu}{\nu}}dx^\mu dx^\nu$$

4. Pullback

이제는 coordinate transformation에 대해 다루겠다. 먼저 N과 Riemanian manifold N의 submanifold M^[각주:1]을 생각하자.

$f:M\rightarrow N$이 M의 submanifold structure에 대한 embedding이라고 생각을 한다면^[각주:2] 우리는 $f^*$(pullback)을 다음과 같이 쓸 수 있다. $g_M=f^* g_N$으로 생각하자. 그러면 component를 사용해서

$$g_{M_{\mu \nu}}=g_{N_{ij}}(f(x))\frac{\partial f^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial f^j}{\partial x^\nu}$$

이런 것을 우리는 coordinate transformation이라 하며 $f$ 대신에 $x'$도 많이 쓰며 $f^\mu$는 $f(x)$의 coordinate이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

[2] Wald, GENERAL RELATIVITY, 1984

1. 몰라도 이해하는데 지장없다. [본문으로]
2. 간단하게 말해서 그냥 똑같이 옮겨간다는 것이다. [본문으로]