5. Levi civita connection ⓑ, Geodesic

1. Connection coefficient

$$\nabla_\nu e_\mu\equiv \nabla_{e_\nu}e_\mu=e_\lambda \Gamma^\lambda {}_{\nu \mu}$$

이다. 비슷한 방법으로

$$\nabla_\mu dx^\nu=-\Gamma^\nu _{\mu \lambda} dx^\lambda$$

이다. 위의 사실을 이용해서

$$\nabla_V W=V^\mu \nabla_\mu (W^\nu e_\nu)=V^\mu (\partial_\mu W^\lambda+W^\nu \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu})e_{\lambda}$$

은 쉽게 보일 수 있다. 위의 두 basis를 가지고 우리는 모든 tensor에 대한 covariant derivative를 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\nabla_\mu T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}=\partial_\mu T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}+\Gamma^{\nu_p}{}_{\nu \kappa} T^{\nu_1 \cdots \nu_{p-1}\kappa}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}+\cdots-\Gamma^\kappa {}_{\mu \lambda_1}T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\kappa\lambda_1 \cdots \lambda_{q-1}}-\cdots$$

2. Geodesic

$X$를 $\gamma(t)$에 대해 정의된 vector field 라 하고 $c:(a,b)\rightarrow M$인 manifold M 에서의 curve라 하자. 그러면 이는

$$X_{|c(t)}=X^\mu ((\gamma (t))e_\mu {}_{|\gamma (t)}$$

이고 $V=(dx^\mu \gamma (t)/dt)e_\mu {}_{\gamma(t)})$인 curve $\gamma(t)$의 tangent vector일 때 만약

$$\nabla_V X=0$$

이면 $X$를 curve $\gamma (t)$로 parallel transport 되었다고 한다. 그리고 이는 component를 사용하여 쓰면

$$\frac{dX^\mu}{dt}+\Gamma^\mu {}_{\nu \lambda}\frac{dx^\nu}{dt}X^\lambda=0$$

이게 된다. 이제 tangent vector $V$가 curve $\gamma (t)$에 대해 움직인다고 생각하면

$$\nabla_V V=0$$

이고 이를 만족하는 curve $\gamma (t)$를 geodesic이라고 한다. 이를 만족하는 $\gamma (t)$의 coordinate $\{x^\mu\}$에 대하여 위와 같은 방법으로 다음의 geodesic equation이 유도된다.

$$\frac{d^2 x^\mu}{dt^2}+\Gamma^\mu {}_{\nu \lambda}\frac{dx^\nu}{dt}\frac{dx^\lambda}{dt}=0$$

이제 이를 다른 방법으로 유도해보자. 우리는 어떠한 거리에 대하여 이를 extremize하는 방법을 이미 알고 있다. 즉,

$$I(\gamma)=\int_\gamma ds=\int_\gamma \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}}ds$$

이다. 그러면 lagrangian $\mathcal{L}=\sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}}$이고 $ds$에 대해서 보면 이를 만족하는 euler-lagrange equation을 통해서 우리는 다음의 결론을 얻어낼 수 있다.^[각주:1]

$$\frac{d^2 x^\mu}{ds^2}+\frac{1}{2}g^{\kappa \lambda}\biggr(\partial_\nu g_{\lambda \mu}+\partial_\mu g_{\lambda \nu}-\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}\biggr)\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}=0$$

따라서 위의 식과 비교하면

$$\Gamma^{\kappa} {}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\kappa \lambda}\biggr(\partial_\nu g_{\lambda \mu}+\partial_\mu g_{\lambda \nu}-\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}\biggr)$$

이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

1. 계산해보라. [본문으로]