7. Tensors, energy momentum conservation, Bianchi identity

1. Ricci tensor, scalar curvature

Riemann curvature tensor의 indices를 줄이기 위해서 다음의 텐서를 생각하자.

$$\mathrm{Ric}(X,Y)\equiv <dx^\mu, R(e_\mu, Y)X>$$

그러면 components로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$R_{\mu \nu}=\mathrm{Ric}(e_\mu, e_\nu)=R^\lambda {}_{\mu \lambda \nu}$$

그리고 scalar curvature $R$은 다음과 같이 정의한다,

$$R\equiv g^{\mu \nu}R_{\mu \nu}$$

또한, Einstein tensor를 다음과 같이 정의하자.

$$G_{\mu \nu}\equiv R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu }R$$

그리고 energy-momentum tensor는 다음과 같이 정의된다

$$T_{\mu \nu}\equiv-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}\mathcal{L}_m)}{\delta g^{\mu \nu}}$$

2. Bianchi Identity

(i) First Biachi identity

$$R(X,Y)Z+R(Z,X)Y+R(Y,Z)X=0$$

$$R^a {}_{bcd}+R^{a}{}_{cdb}+R^{a}{}_{dbc}=0$$

(ii) Second Bianchi Identity^[각주:1]

$$(\nabla_X)(Y,Z)V+(\nabla_Z R)(X,Y)V+(\nabla _Y R)(Z,X)V=0$$

$$(\nabla_e R)^f {}_{cab}+(\nabla_a R)^{f}{}_{bce}+(\nabla_a R)^{f}{}_{cea}=0$$

그리고 indices contarction을 통하여

$$\nabla ^{\mu} G_{\mu \nu}=0$$

은 bianchi identity에 의하여 자명하다.

3. Energy momentum conservation

물질에 대한 action은 다음과 같다.

$$S=\int d^4 x \sqrt{-g} \mathcal{L}_m$$

여기서 물질에 대한 action은 coordinate transformation에 대하여 invariant해야 함은 자명하다. 따라서,

$$x'^a=x^a+\epsilon A^a$$

이고 $\epsilon$은 작다고 가정한다. 이 transformation에 대하여 pullback을 고려하고 first order approximation을 생각하자. 그리고 편의를 위해서 coordinate transfomation이 된 metric을 $g'_{ab}$라 표기하자. 그러면

$$g'_{ab} (x)=g_{ab} (x)-\epsilon (A^c \partial_c g'_{ab}+g'_{bd}\partial_a A^d+g'_{ad}\partial_b A^b)$$

connection coefficient의 정의를 이용하면

$\delta g_{ab}=-\epsilon (\nabla_a A_b+\nabla_b A_a)$

이고 energy momentum tensor가 symmetric하다는 사실을 이용하면

$$\delta S=2\epsilon \int d^4 x (\nabla_a (A_b T^{ab})-A_b(\nabla_a T^{ab}))=0$$

first term은 surface term으로 0이다. 따라서

$$\nabla _a T^{ab}=0$$

이다.

1. 둘 다 증명은 간단하다. riemann curvature tensor의 정의를 이용해서 component가 붙어있는 꼴로 먼저 유도해보라. [본문으로]