6. Riemann curvature tensor

1. Riemann curvature tensor

기존의 Christoffel symobls는 tensor가 아니기 때문에^[각주:1] 다른 기하학적 양이 필요하다. 이제 $R:\mathscr{X}(M)\otimes \mathscr{X}(M)\otimes \mathscr{X}(M)\rightarrow \mathscr{X}(M)$인 Riemann curvature tensor가 다음의 조건을 만족한다고 정의하자.

$$R(X,Y,Z)=R(X,Y)Z\equiv \nabla_X \nabla_Y Z-\nabla_Y \nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z$$^[각주:2]

그러면 자명하게 다음의 성질은 성립한다.

$$R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$$

또한 다음의 과정을 따라가보자.

$$R(fX,gY)hZ=fghR(X,Y)Z$$

임을 알 수 있고^[각주:3] 따라서

$$R(X,Y)Z=X^\mu Y^\nu Z^\lambda R(e_\mu, e_\nu)e_\lambda$$

따라서 위의 mapping대로 3 개의 vector field를 vector field로 하는 사상이며 이는 (1,3)-tensor라는 것을 알 수 있다. 그리고 이 riemann curvature tensor는 tensor이기 때문에 다음의 논리가 성립한다.

$$R^{a}{}_{bcd}=<dx^a,R(e_c,e_d)e_a>=\partial_c \Gamma^{a}{}_{db}-\partial_\nu \Gamma^{a}{}_{cb}+\Gamma^{e}{}_{db}\Gamma^{a}{}_{ce}-\Gamma^{e}{}_{cb}\Gamma^{a}{}_{de}$$

그리고 $R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$이므로

$$R^{a}{}_{bcd}=-R^{a}{}_{bdc}$$

이다.

여기서 $pqrs$의 coordinate를 $\{x^\mu\}\{x^\mu+\epsilon^\mu\}\{x^\mu+\delta^\mu\}\{x^\mu+\epsilon^\mu+\delta^\mu\}$로 생각하자. 각각 $p,q,r,s$의 coordinate이며 위의 그림을 보면 알 수 있듯이 Path 1과 Path 2를 따라서 transport한 vector의 결과는 다르다. 그래서 이 다른 정도를 이용해서 Riemann curvature tensor을 생각하자. 먼저 Path 1로 이동한 vector는 $V_1^\mu (p)$로 Path 2로 이동한 vector는 $V_2 ^\mu (p)$ 그리고 $p$에 있는 transport하기 전의 vector $V^\mu _0$로 표시하자. 이제 $V_1 ^\mu (q)$는 다음과 같이 표현이 될 것이다.^[각주:4]

$$V^\mu _1 (q)=V^\mu _0-V^\kappa_0 \Gamma^\mu {}_{\nu \kappa}(p)\epsilon^\nu$$

그러므로 $V^\mu _1 (r)$은

$$V^\mu _1 (r)=V^\mu _1 (q)-V^{\kappa}_1 (q)\Gamma^{\mu}{}_{\nu \kappa}(q)\delta^\nu$$

$$\simeq V^\mu _0-V^\kappa _0 \Gamma^\mu _{\nu \kappa}\epsilon^\nu -V^\kappa_0 \Gamma^\mu {}_{\nu \kappa}\delta^\nu-V^\kappa_0[\partial_\lambda \Gamma^\mu {}_{\nu \kappa}-\Gamma^\rho {}_{\lambda \kappa}\Gamma^\mu {}_{\nu \rho}]\epsilon^\lambda \delta^\nu$$

같은 방법으로 $V^\mu _2 (r)$은

$$V^\mu _2 (r)\simeq V^\mu _0 -V^\kappa _0 \Gamma ^\mu {}_{\nu \kappa}\delta^\nu-V^\kappa_0\Gamma^\mu {}_{\nu \kappa}\epsilon^\nu -V^\kappa_0[\partial_\nu \Gamma^\mu {}_{\lambda \kappa}-\Gamma ^\rho{}_{\nu \kappa}\Gamma^{\mu}{}_{\lambda \rho}]\epsilon^\lambda \delta^\nu $$

이다. 이 두 vector의 차는

$$V^\mu _1(r)-V^\mu _2 (r)=V^\kappa_0 R^{\mu}{}_{\kappa \lambda \nu}\epsilon^\lambda \delta^\nu $$

1. 증명해보라. coordinate transformation에 대하여 christoffel symbols는 어떻게 변할까? [본문으로]
2. 첫번째 등호에는 의미가 없다. 표현 방법이다. [본문으로]
3. 계산해보라. [본문으로]
4. 왜 그럴까? [본문으로]