8. Einstein field equation

1. Weak proof

Einstein field equation은 내가 아는 바로는 두 가지의 유도 방법이 있다. 원래 사용되는 것은 einstein-hilbert action을 통한 proof이고 다른 방법은 hartle에서 사용하는 끼워 맞추기이다. 우리는 단순히 이 사실들만 이용한다.

$$\nabla^a G_{ab}=0$$

$$\nabla^a T_{ab}=0$$

따라서

$$G_{ab}=\kappa T_{ab}$$

라 할 수 있고 weak field limit (newtonain limit)을 이용해 다음과 같은 관계식을 얻는다.

$$G_{\mu \nu}=\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$$

그러나 이 방법은 올바르지 않다. 저렇게 되는 것이 저 tensor들로만 구성되지 않을 수도 있기 때문이다. 더욱이 einstein이 처음에는 양변에 covariant derivative를 취하면 금방 해결되는 것을 당시 einstein이 bianchi identity를 몰라서 위와 같은 방법을 취하면 등호가 성립하지 않는 것을 모르고 잘못된 방정식을 내놓았었다.

2. Einstein hilbert action

total action은 gravity에 대한 action+matter에 대한 action이 되어야 할 것이다. 그리고 이에 대해 principle of least action을 취하면 어떤 equation을 얻을 수 있고 우리는 그 equation을 einstein field equation임은 쉽게 알 수 있다.

먼저, gravity에 대한 action은 covariance가 있어야 한다. 또한 lagranian density는 scalar이고 covariance를 지녀야 하므로 gravity에 대한 lagrangian density $\mathcal{L}_g$는 다음과 같이 생각할 수 있다.

$$\mathcal{L}_g=a_0+a_1 R+a_2 R^2+ \cdots + b_1 R_{ab} R^{ab}+b_2 R_{ab}R^{ab}R+\cdots +c_1 R_{abcd} {R}^{abcd}$$

그리고 실험에 의해 이 action의 leading term은 scalar curvature임이 증명이 되었다. 그리고 $a_0=-2\Lambda$라 하면 total action은 다음과 같다. ($c=G=1$을 사용하자.)

$$S=\int d^4 x\sqrt{-g}(R-2\Lambda+16\pi \mathcal{L}_m)$$

이제 아래의 action에 대한 변분을 풀기 위한 테크닉을 유도하자.

먼저 matrix identity를 이용하자.

$$\ln(\mathrm{det }g_{\mu \nu})=\mathrm{tr }(\ln g_{\mu \nu})$$

임을 이용하면 다음의 Jacobi formula는 쉽게 증명할 수 있다.

$$\frac{\partial}{\partial \mathbf{A}}\mathrm{det }(\mathbf{A})=\mathrm{det }\mathbf{A}[\mathbf{A}^{-1}]^T$$

그리고 total derivative는 action에 기여를 하지 못한다는 사실을 사용하자.^[각주:1]

따라서

$$\delta S=\int d^4 x \biggr(\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(R\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu \nu}}+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(-2\Lambda \sqrt{-g})}{\delta g^{\mu \nu}}+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(16\pi\mathcal{L}_m\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu \nu}}\biggr)\sqrt{-g} \,\delta g^{\mu \nu}$$

$$\delta S=\int d^4 x  \biggr(\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu}}+\frac{R}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}}-2\frac{\Lambda}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}}-8\pi T_{\mu \nu}\biggr)\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu \nu}$$

$$\delta S=\int d^4 x  \biggr(R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R+\Lambda g_{\mu \nu}-8\pi T_{\mu \nu}\biggr)\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu \nu}=0$$

$$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R+\Lambda g_{\mu \nu}-8\pi T_{\mu \nu}=0$$

1. 왜 그럴까? [본문으로]