für Physik, Shut up and calculate

Euler-lagrange equation은 곡선을 극치화(extremize)하는 것에 효율적으로 사용할 수 있다.(그리고 일반상대성이론에서도 geodesics equation을 유도하기 위해 사용한다.) 다음의 논리를 따라가자. 먼저, 라그랑지언 $\mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)$^[각주:1]에 대해 극치화하자. 먼저 라그랑지언, $\mathcal{L}\equiv T-V$로 정의된다. 그러나 이에 얽메이지 않고 어떤 범함수에 대해서 생각할 수 있다.(사실 이게 변분법의 역할이다.)

우리는 이제 어떤 계의 시간에 대한 작용

$$S=\int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)dt$$

로 고려된다는 것을 알고 있다. 그러면 이제 작용에 변분을 취하자

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \delta \mathcal{L}(q_i,\dot{q}_i)dt$$

이고 total derivative의 관점에서

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\delta q_i+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\biggr)dt$$

이다. 그리고 $\delta \dot{q}_i=\frac{d}{dt}\delta q_i$와 $\delta q_i(t_1)=\delta q_i (t_2)=0$과 integration by parts를 이용하면

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)\biggr]\delta q_i dt$$

이고 principle of least action에 의하여

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \biggr[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)\biggr]\delta q_i dt=0$$

이다. 이 말은 즉슨 양 끝점에서 변분이 0이 되기만 하면 무한한 homotopic한 path가 존재하여 그 중 선택을 하는 것이다. 그런데 이 많은 path들 중에서 principle of least action을 만족하려면

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}- \frac{d}{dt}\biggr(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\biggr)=0$$

이다.

1. Einstein summation convention

$$A^\mu B_\mu=\sum_{\mu} A^\mu B_\mu$$

저렇게 대응되는 첨자들, 즉 합에 참여하는 첨자들을 dummy variable이라 하며 반대로 summation에 참여하지 않는 index는 free variable이라 한다, 그리고 이 때 $\sum$을 생략한다.

2. East coast convention

$\eta_{\mu \nu}=\mathrm{diag }(-1,1,1,1\cdots)$

을 East coast convention 이라고 한다. 그리고 Jacobian(Volume element) $J^2=\mathrm{det } g_{\mu \nu}=-g \rightarrow J=\sqrt{-g}$. 왜냐하면 $(-,+,+,+\cdots+)$이면 determinant는 음수이기 때문이다.

이 글에서는 Einstein summation convention과 East coast convention을 사용했다.