für Physik, Shut up and calculate

* 위의 문제들은 누구나 풀 수 있어야 한다.

1. Metric

M이 differentiable manifold이고 두 vector $U,V$가 주어졌고 $p \in M$일 때, M의 (0,2)-tensor g는 다음의 두 조건을 만족하면 pseudo-Riemannian metric이라 한다.

(i) $g_p (U,V)=g_p (V,U)$

(ii)$g_p (U,V)=0\mathrm{\, for\,any\,U\in T_p M,\, then V=0}$

이제 위의 definiton을 통해 $g_p : T_p M \otimes T_p M \rightarrow \mathbb{R}$이고 이를 통해서 우리는 다음을 정의할 수 있다.

$$g_p (U,\;):T_p M \rightarrow \mathbb{R}$$

이고 $\omega \in T^*_p M$는 $<\omega,U>=g(V_\omega,U) \mathrm{\,for\, V_\omega \in T_p M}$으로 쓸 수 있으므로 metric을 통해서 tangent space와 cotangent space 사이에 관계들(isomorphism)을 만들어 줄 수 있다. 먼저 (0,2)-tensor이므로

$$g_p=g_{\mu \nu}(p)dx^\mu \otimes dx^\nu$$

이고 따라서,

$$g_{\mu \nu}(p)=g_p(\frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu})=g_{\nu \mu}(p)$$

는 metric에 의하여 자명하다.

2. Property

그리고 위와 같은 방법으로 유도되어지는 다음의 property는 기억해두자.

$$g_{\mu \nu}g^{\nu \lambda}=g^{\lambda \nu}g_{\nu \lambda}=\delta^\lambda _\mu$$

이제 위의 관계(isomorphism)을 이용하여 index를 내리고 올릴 수 있다.

$A_i g^{ij}=A^j$

와 같이 말이다.

3. Metric tensor

이제 1.을 사용하여 다음과 같은 논리를 전개시키자. infinitesimal displacement $dx^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}\in T_p M$에서 다음과 같이 $ds^2$을 쓰자

$$ds^2=g(dx^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu},dx^\nu \frac{\partial}{\partial x^\nu})=dx^\mu dx^\nu g(\frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu})=g_{{\mu}{\nu}}dx^\mu dx^\nu$$

4. Pullback

이제는 coordinate transformation에 대해 다루겠다. 먼저 N과 Riemanian manifold N의 submanifold M^[각주:1]을 생각하자.

$f:M\rightarrow N$이 M의 submanifold structure에 대한 embedding이라고 생각을 한다면^[각주:2] 우리는 $f^*$(pullback)을 다음과 같이 쓸 수 있다. $g_M=f^* g_N$으로 생각하자. 그러면 component를 사용해서

$$g_{M_{\mu \nu}}=g_{N_{ij}}(f(x))\frac{\partial f^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial f^j}{\partial x^\nu}$$

이런 것을 우리는 coordinate transformation이라 하며 $f$ 대신에 $x'$도 많이 쓰며 $f^\mu$는 $f(x)$의 coordinate이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

[2] Wald, GENERAL RELATIVITY, 1984

General relativity와 현존하는 단순한 classical field theory와의 근본적인 차이는 tensor에서 부터 있다. tensor은 coordinate transformation에 대하여 불변인 양으로 간단하게 요약할 수 있다. 먼저 tensor는 다음과 같은 multi-linear form으로 생각한다.

$$\mathrm{(p,q)-tensor}\equiv \bigotimes^p V^* \bigotimes^q V\rightarrow \mathbb{R}$$^[각주:1]

단순히 생각해서 적당한 p개의 covector들과 q개의 vector들을 모아서 한번에 real field로 보내는 mapping이다. 즉 단순한 하나의 form이 아니라 multi-linear form이다. 이러한 방면으로 보면 tensor는 쉽게 이해가 되지 않는다. 그러나 covector과 vector의 차이점을 우리는 잘 알아둘 필요가 있다.

1. vector space와 dual vector space

우리는 $T_p M$을 manifold M^[각주:2]의 point p의 tangent vector space로 표기한다. 그러면 이에 대한 dual space가 존재하여 cotangent space를 $T^*_p M$으로 표기한다. 이에 대해서 우리가 평범하게 알던 것은 contravariant vector이며 이 양은 scale과 관련이 있다. 그러나 covector는 좌표계 변환에 대해서 그대로 변환하여 양을 유지시키게 해주는 모습을 보여준다. 이는 다시 설명해서 covariance를 가지고 있다는 뜻이며 좌표계에 대해 같은 양을 유지한다는 것이다. 즉 이러한 양을 가지고 covariance를 유지시키게 하는 form이 tensor이다.

위의 그림을 보면 확실하게 생각할 수 있다. ($e_1, e_2,e_3$는 tangent basis vector이고, $e^1, e^2, e^3$는 dual basis vector이다.)

이러한 방면에서 우리는 $\omega : T_p M \rightarrow \mathbb{R}$이게 하는 $\omega \in T^*_p M$을 cotnagent vector이라고 하며 one-form이라고 한다.

2. basis

위에 나와있는 그림에는 basis vector가 각각 $e_i, e^j$로 나와있지만 사실은 그렇지 않다.(그렇지 않다기 보다는 의미를 파악하기가 어려울 수 있다.) 일단 우리는 tangent space의 basis $\{e_\mu\}=\{\frac{\partial}{\partial x^\mu}\}$이고 cotangent space의 basis는 $\{e^\mu\}=\{dx^\mu\}$임을 기억하자. 이에 대한 논리는 설명하면 복잡한데 단순하게 inner product $\mathrm{<\;,\;>}\rightarrow T^*_p M \times T_p M$이기 때문이고 실제로

$$<dx^\mu,\frac{\partial}{\partial x^\mu}>=\frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}=\delta^\nu _\mu$$^[각주:3]

이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors