für Physik, Shut up and calculate

1. Connection coefficient

$$\nabla_\nu e_\mu\equiv \nabla_{e_\nu}e_\mu=e_\lambda \Gamma^\lambda {}_{\nu \mu}$$

이다. 비슷한 방법으로

$$\nabla_\mu dx^\nu=-\Gamma^\nu _{\mu \lambda} dx^\lambda$$

이다. 위의 사실을 이용해서

$$\nabla_V W=V^\mu \nabla_\mu (W^\nu e_\nu)=V^\mu (\partial_\mu W^\lambda+W^\nu \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu})e_{\lambda}$$

은 쉽게 보일 수 있다. 위의 두 basis를 가지고 우리는 모든 tensor에 대한 covariant derivative를 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\nabla_\mu T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}=\partial_\mu T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}+\Gamma^{\nu_p}{}_{\nu \kappa} T^{\nu_1 \cdots \nu_{p-1}\kappa}_{\lambda_1 \cdots \lambda_q}+\cdots-\Gamma^\kappa {}_{\mu \lambda_1}T^{\nu_1 \cdots \nu_p}_{\kappa\lambda_1 \cdots \lambda_{q-1}}-\cdots$$

2. Geodesic

$X$를 $\gamma(t)$에 대해 정의된 vector field 라 하고 $c:(a,b)\rightarrow M$인 manifold M 에서의 curve라 하자. 그러면 이는

$$X_{|c(t)}=X^\mu ((\gamma (t))e_\mu {}_{|\gamma (t)}$$

이고 $V=(dx^\mu \gamma (t)/dt)e_\mu {}_{\gamma(t)})$인 curve $\gamma(t)$의 tangent vector일 때 만약

$$\nabla_V X=0$$

이면 $X$를 curve $\gamma (t)$로 parallel transport 되었다고 한다. 그리고 이는 component를 사용하여 쓰면

$$\frac{dX^\mu}{dt}+\Gamma^\mu {}_{\nu \lambda}\frac{dx^\nu}{dt}X^\lambda=0$$

이게 된다. 이제 tangent vector $V$가 curve $\gamma (t)$에 대해 움직인다고 생각하면

$$\nabla_V V=0$$

이고 이를 만족하는 curve $\gamma (t)$를 geodesic이라고 한다. 이를 만족하는 $\gamma (t)$의 coordinate $\{x^\mu\}$에 대하여 위와 같은 방법으로 다음의 geodesic equation이 유도된다.

$$\frac{d^2 x^\mu}{dt^2}+\Gamma^\mu {}_{\nu \lambda}\frac{dx^\nu}{dt}\frac{dx^\lambda}{dt}=0$$

이제 이를 다른 방법으로 유도해보자. 우리는 어떠한 거리에 대하여 이를 extremize하는 방법을 이미 알고 있다. 즉,

$$I(\gamma)=\int_\gamma ds=\int_\gamma \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}}ds$$

이다. 그러면 lagrangian $\mathcal{L}=\sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}}$이고 $ds$에 대해서 보면 이를 만족하는 euler-lagrange equation을 통해서 우리는 다음의 결론을 얻어낼 수 있다.^[각주:1]

$$\frac{d^2 x^\mu}{ds^2}+\frac{1}{2}g^{\kappa \lambda}\biggr(\partial_\nu g_{\lambda \mu}+\partial_\mu g_{\lambda \nu}-\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}\biggr)\frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}=0$$

따라서 위의 식과 비교하면

$$\Gamma^{\kappa} {}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\kappa \lambda}\biggr(\partial_\nu g_{\lambda \mu}+\partial_\mu g_{\lambda \nu}-\partial_{\lambda} g_{\mu \nu}\biggr)$$

이다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

1. Christoffel symbol

물리학에서는 아주 중요한 개념이 있는데 바로 등가원리의 관점에서 보거나 어느 관점에서 보거나 다른 좌표계에 대하여 법칙이나 다른 것들은 전부 불변(covariance, invariance)해야 한다. 이를 물리학적 용어로는 general covariance라고 한다. 그러나 vector field의 partial derivative 은 그렇지 않는다. 다음의 예시를 보라.

$$\partial'_\beta V'^\alpha = \frac{\partial}{\partial x'^\beta} \biggr(\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^i} V^i \biggr)$$

$$= \frac{\partial x^k}{\partial x'^\beta} \frac{\partial}{\partial x^k} \biggr(\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^i} V^i \biggr) $$

$$=\frac{\partial x^k}{\partial x'^\beta}\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^i} \partial_k V^i + \frac{\partial x^k}{\partial x'^\beta} \frac{\partial^2 x'^\alpha}{\partial x^k \partial x^i} V^i$$

즉, 식의 첫번째 항은 공변성을 보이지만 두번째 항 때문에 vector field의 변화를 partial derivative로 관찰하는 것은 covariance을 가지지 못해서 의미가 없다. 즉, 물리학 법칙에 사용되기에는 좋은 연산자가 아니라는 것이다. 이제 이를 위해서 수학자들은 parallel transport이라는 걸로 covariance을 가진 gradient를 정의하게 된다. 바로 covariant derivative이다.

이제 기하학적으로 다가가자. 기존의 partial derivative는 다음과 같이 정의된다.

$$\partial_\nu V^\mu = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{V^\mu (\cdots ,x^\nu+ \Delta x^\nu,\cdots) -V^\mu (\cdots ,x^\nu,\cdots )}{\Delta x^\nu}$$

여기서 옳지 않은 것은 기존 한 점에서는 tangent space라 비교를 자유자재로 할 수 있는데 다른 두 점이 있고 최소한 polar coordinate 위에서라 생각하면 두 tangent space 사이의 변화를 보여주어야 한다. 즉, 기존의 partial derivative으로 비교를 한다는 것은 지평면에 서있는 필자와 개미가 Mt. 에베레스트 정상에 있을 때 지평면에서 부터 비교한다는 것과 같은 이치이다. 실제로, 이러한 문제점을 고려할 필요가 없는 cartesian coordinate 위에서는 이 connection coefficients가 사라지게 된다. (이제, $\widetilde{V}_{|x+\Delta x}$를 $x+\Delta$로 paralled transport한 vector $V_{|x}$라 하자.)

이제 우리가 원하는 것을 살펴보자. 우리는 covariance가 있는 derivative을 원한다. covriance을 가지려면 어딘가 connection에 따라서 무언가를 보정해주는 값이 있어야 할 것이다. 즉, 우리가 원하는 것은

$$\widetilde{V}^\mu(x+\Delta x)-V^\mu (x)\propto \Delta x$$

$$\widetilde{(V^\mu+W^\mu)}(x+\Delta x)=\widetilde{V}^\mu (x+\Delta x)+\widetilde{W}^\mu (x+\Delta x)$$

그리고 이러한 우리의 수요를 만족시킬 수 있는 값을 이렇게 잡으면 되는 것이다.

$$\widetilde{V}^\mu(x+\Delta x)=V^\mu (x)-V^\lambda (x) \Gamma ^\mu {}_{\nu \lambda}(x) \Delta x^\nu$$

이렇게 해줌으로써 값을 보정시키거나 이 connection을 취함으로써, 기존의 partial derivative의 문제점을 사라지게 한다. 즉, vector $V$ 의 covriant derivative는 다음과 같이 정의된다.

$$\lim _{\Delta x^\nu \rightarrow 0} \frac{V^\mu (x+\Delta x)-\widetilde{V}^\mu (x+\Delta x)}{\Delta x^\nu}\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\biggr(\partial_\nu V^\mu + V^\lambda \Gamma ^\mu {}_{\nu \lambda}\biggr)\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

이걸 거꾸로 유도해도 좋다. 어떠한 값을 보정하는 것의 존재 하에서, 짜 맞추기 하는 것이다. 여기서, $\Gamma ^\mu {}_{\nu \lambda}$를 connection coefficients라 하며 이러하게 vector가 변환함을 표현해주는 것 자체가 Levi civita connetion이다. 여기서 levi civita connection의 특징은 affine connection에서 isomtery 하고, 꼬임 없는(torsion-free; $\Gamma ^\mu {}_{\nu \lambda}=\Gamma ^\mu {}_{\lambda \nu}$)접속이다. 그러나 torsion이 있다면 그건 torsion tensor를 고려하여 새로운 einstein field equation이 탄생하고 이 이론을 einstein-cartan theory라고 한다. 그러나 아직은 다루지 않겠다. 또한, 우주가 isotropic하고 균질한homogeneous한 공간이라는 이론인, cosmological principle에 의하여 이런 부분은 잘 다루지 않는다.

2. Affine connection

manifold M 위에서의 vector들의 set을 $\mathscr{X}(M)$이라 하자. 그러면 Affine connection은 $\mathscr{X}(M)\times \mathscr{X}(M)\rightarrow \mathscr{X}(M)$인 mapping 임을 알 수 있다. 그리고 affine connection은 다음의 properties를 만족하는 connection으로 정의한다.

$$\nabla _X (Y+Z)= \nabla _X Y+\nabla_X Z$$

$$\nabla _X (fY)=X[f]Y+f \nabla _X Y$$

$$\nabla _{(fX)}Y = f \nabla_X Y$$

$$\nabla _{(X+Y)} Z =\nabla _X Z+\nabla _Y Z$$

여기서, 위의 조건들을 이용하여,

$$\nabla _\mu W^\lambda \equiv \partial_\mu W^\lambda + \Gamma^\lambda{}_{\mu \nu} W^\nu$$

임은 basis에 대한 derivative로 쉽게 확인할 수 있다.

참고문헌:

[1] M.Nakahara, GEOMETRY, TOPOLOGY AND PHYSICS, 2003

1. Group

Group $G$는 element 한 쌍과 다른 하나의 element에 대해서 다음을 네 조건을 만족하면 group이라고 한다.

(i) $f,g\in G$이면 $h=fg\in G$

(ii) $f,g,h \in G$이면 $(fg)h=f(gh)$

(iii) $\forall f\in G, \exists \mathrm{identity\;element\;}e \mathrm{\;s.t.\,}ef=fe=f$

(iv) $\forall f \in G, \exists f^{-1}\mathrm{\,s.t.\,} ff^{-1}=f^{-1}f=e$

2. Representation of G

Representation of G는 다음을 만족하는 $G$의 element에서 linear operator 위로의(전사) 사상이다.^[각주:1]

(i) $D(e)=1$

(ii) $D(g_1)D(g_2)=D(g_1 g_2)$

참고문헌:

[1] Georgi, Lie Algebras in Particle Physics 2nd ed - From Isospin to Unified Theories, 1999